Mathematica-Υπολογισμός αορίστων ολοκληρωμάτων

Για τα απλά ολοκληρώματα , συναρτήσεων μίας μεταβλητής χρησιμοποιούμε τον παρακάτω τύπο-εντολή Integrate[f(x),x]

Για παράδειγμα για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος της συνάρτησης f(x)=1/(1+x^2) γράφουμε την εντολή Integrate[1/(1+x^2) ,x] , ως αποτέλεσμα παίρνουμε

Integrate[1/(1+x^2) ,x]=ArcTan[x] συν μία σταθερά

Mathematica-Υπολογισμός παραγώγου

Στον ακόλουθο σύνδεσμο http://www.wolframalpha.com/ μπορούμε να εκτελέσουμε διάφορους μαθηματικούς υπολογισμούς ,όπως θα δούμε και σε άλλες αναρτήσεις .

Για τον υπολογισμό της παραγώγου μίας συνάρτησης ο γενικός τύπος είναι ο εξής : D[f[x],{x,n}], όπου f[x] η συνάρτηση που παραγωγίζουμε , το {x,n} δηλώνει ότι παραγωγίζουμε ως προς x και ότι ζητούμε την παράγωγο n τάξης .

Παράδειγμα : για τον υπολογισμό της πρώτης παραγώγου της συνάρτησης

x² ( η οποία γράφεται x^2 , αυτός είναι ο τρόπος γράφης μίας δύναμης )

γράφουμε D[x^2,{x,1}] .

ΟΠΤΙΚΟ ΠΡΙΣΜΑ

Πρίσμα ονομάζεται το σύστημα που αποτελείται από δύο επίπεδα  δίοπτρα τεμνόμενα υπό γωνία Φ( διαθλαστική γωνία ), τα οποία χωρίζουν ένα οπτικό μέσω από ένα άλλο ( δίοπτρο : η επιφάνεια που χωρίζει δύο διαφανή και ομογενή μέσα , με διαφορετικό δείκτη διάθλασης ) . 

Αν σε ένα πρίσμα πέσει μια ακτίνα φωτός  , θα διαθλαστεί δύο φορές και θα εξέλθει από αυτό με γωνία Ε( γωνία εκτροπής) . H γωνία εκτροπής εξαρτάται από το δείκτη διάθλασης και αυτός από το μήκος κύματος της ακτινοβολίας . 

Οπότε αν προσπέσει στο πρίσμα ορατό φως που περιέχει πολλά μήκη κύματος (από 400 έως 700 nm ) με μία ορισμένη γωνία , μετά από δύο διαθλάσης το λευκό φως θα διαχωρισθεί καθώς κάθε μήκος κύματος διαθλάται με άλλη γωνία .

Όσο μεγαλύτερο είναι το μήκος κύματος τόσο μικρότερη θα είναι η γωνία εκτροπής .Έτσι αν συλλέξουμε τα μήκη κύματος μετά την δεύτερη διάθλαση του ορατού φωτός σε ένα πέτασμα , θα παρατηρήσουμε ότι πάνω έχουμε το ερυθρό χρώμα και κάτω το ιώδες ( όπως φαίνεται και στο σχήμα ) .

ΤΣΟΥΝΑΜΙ

Είναι μεγάλα θαλάσσια κύματα της ανοιχτής θάλασσας και οφείλονται σε κάποιες δραστηριότητες του πυθμένα .Τα κύματα αυτά επηρεάζουν την υδάτινη μάζα στο σύνολο της .

 Για την πιθανή παρατήρηση των κυμάτων αυτών θα πρέπει να έχουμε υποθαλάσσιους σεισμούς μεγαλύτερους των 7.5 R ,υποθαλάσσιες κατολισθήσεις , εκρήξεις ηφαιστείων  και όλα αυτά να προκαλούν κατακόρυφη μετατόπιση του πυθμένα .

  

                         

                                     

                                      

                                                                   

Τα κύματα αυτά είναι καταστροφικά όταν διέρχονται από την ανοιχτή θάλασσα στις

 παράκτιες περιοχές καθώς το ύψος τους αυξάνεται ραγδαία .

ΣΥΣΤΑΣΗ ΕΝΟΣ ΠΥΡΗΝΑ ΑΤΟΜΟΥ

Από τις αρχές  του 20 αιώνα με  διάφορα πειράματα οι επιστήμονες( Ράδερφορντ,Μπορ, Τόμσον) κατέληξαν στο ότι το άτομο έχει ένα συμπαγή πυρήνα θετικά φορτισμένο και γύρω του κινούνται τα ηλεκτρόνια , τα οποία έχουν αρνητικό φορτίο .

Λίγο αργότερα νέα πειράματα έδειξαν ότι ο πυρήνας αποτελείται από δύο σωματίδια , τα νετρόνια και τα πρωτόνια , τα οποία έχουν ίδια μάζα .Το φορτίο του πυρήνα είναι θετικό και ίσο με αυτό του πρωτονίου καθώς τα νετρόνια είναι ουδέτερα .Τα πρωτόνια έχουν ίδιο φορτίο με αυτό του ηλεκτρονίου αλλα με αντίθετο πρόσημο .

Η επιστήμη δεν έμεινε εδώ , αλλά εισχώρησε βαθύτερα στον πυρήνα και επιβεβαίωσε ότι τα πρωτόνια και τα νετρόνια έχουν εσωτερική δομή .Τα πρωτόνια αποτελούνται από δύο άνω κουάρκ και ένα κάτω κουάρκ . Τα νετρόνια από ένα πάνω κουάρκ και δύο κάτω .Το φορτίο των άνω κουάρκ είναι +2/3 ( σε μονάδες φορτίου ηλεκρτονίου ) και των κάτω - 1/3.

Όπως μπορούμε να καταλάβουμε όλη η ύλη του σύμπαντος αποτελείται από άνω κουάρκ , κάτω κουάρκ και ηλεκτρόνια ( όπως και από ένα ακόμα σωματίδιο το νετρίνο ).

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΤΗΡΗΣΕΩΣ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ

1) Διατήρηση της ορμής
Από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα έχουμε ότι d(mu)/dt =F .Αν το υλικό σημείο είναι απομονωμένο ,δηλαδή δεν δέχεται κάποια δύναμη τότε d(mu)/dt =0 που σημαίνει ότι η παραγωγίσιμη ποσότητα είναι κάποια σταθερά ,δηλαδή p=mu=σταθερό ( η ορμή p διατηρείται).
2)Διατήρηση της στροφορμής-γωνιακής ορμής
Η στροφοορμή ορίζεται ως το εξωτερικό γινόμενο L=rxmu (όπου r το διάνυσμα θέσης του υλικού σημείου μάζας m που κινείται με ταχύτητα u ). Έστω ότι το σώμα κινείται με την δύναμη F σε αδρανειακό σύστημα .Αν παραγωγίσουμε την στροφορμή ως προς το χρόνο θα πάρουμε dL/dt=dr/dt x mu +rd(mu)/dt =r x F .Όταν το υλικό σημείο είναι απομονωμένο ,δηλαδή F =0 ή το διάνυσμα θέσης του υλικού σημείου είναι παράλληλο με την δύναμη F τότε dL/dt =0=> L=σταθερό ( η στροφορμή διατηρείται )
3)Διατήρηση της ενέργειας
Έστω ένα υλικό σημείο που κινείται πάνω σε μια καμπύλη c ,με μία δύναμη που προέρχεται από δυναμικό (η στροφή της δύναμης είναι μηδέν ) ανεξάρτητο του χρόνου . Το έργο που παράγεται κατά την μετακίνηση του υλικού σημείου μεταξύ δύο θέσεων Α και Β πάνω στην καμπύλη είναι ίσο με την μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σημείου , w=T-T' (1)( T' η κινητική ενέργεια στο σημείο Α και T η κινητική ενέργεια στη θέση Β) .Το έργο που παράγεται επίσης ισούται w=V'-V (2)( V το δυναμικό στη θέση Α και V' το δυναμικό στη θέση Β ).Από (1) και (2) βλέπουμε ότι T+V=T'+V' .Το μέγεθος T+V (που ονομάζεται μηχανική ενέργεια ) διατηρείται κατά την κίνηση υλικού σημείου ( όταν η στροφή της δύναμης είναι μηδέν).

ΥΠΟΘΕΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ-ΔΥΝΑΜΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

Έστω δυο συστήματα συντεταγμένων s-oxyz και s'-o'x'y'z' με το s' να επιταχύνεται με σταθερη επιτάχυνση ως προς τον άξονα x του αδρανειακού συστήματος s.Το  s' βρίσκεται κάθε χρονική στιγμή σε απόσταση 1/(2γt² ) (γ , η επιτάχυνση του s' ) από το s . Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα μας δίνει για το αδρανειακό σύστημα στον άξονα x md²x /dt² =F' , στον άξονα y md²y/dt² =F'' και στον άξονα z md²z/dt² =F''' .Ο μετασχηματισμός μεταξύ των δύο συστημάτων είναι 

x=x' +1/2γt², y=y' και z=z'.Αν αντικαταστήσουμε τον μετασχηματισμό στο νόμο του Νεύτωνα θα έχουμε 

 md²x' /dt²= F''''-mγ , md²y'/dt² =F''''' και md²z'/dt² =F'''''' .Βλέπουμε ότι για έναν παρατηρητή που βρίσκεται στο μη αδρανειακό σύστημα  s' στην έκφραση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα υπεισέρχεται μια δύναμη ίδιας διεύθυνσης με την επιτάχυνση αλλά αντίθετης φοράς .Η δύναμη F=-mγ  ονομάζεται δύναμη αδράνειας και δεν υπάρχει για τον παρατηρητή του αδρανειακού συστήματος .

Ραδιενέργεια και επιπτώσεις

Ένα μεγάλο ποσό ενέργειας θα απελευθερωθεί εάν σπάσουμε ένα μεγάλο πυρήνα σε άλλους μικρότερους .Μία τέτοια διαδικασία ήρθε στην επιφάνεια το 1938 όταν ανεκαλύφθηκε ότι ένας πυρήνας ουρανίου - 235 όταν βομβαρδιστεί με νετρόνια υφίσταται σχάση . Αυτό που συμβαίνει είναι ότι ο πυρήνας του ουρανίου - 235 απορροφά το νετρόνιο μετασχηματιζόμενος σε έναν πυρήνα ουρανίου - 236 . Αν ο βαθμός παραμόρφωσης είναι αρκετά μεγάλος ο πυρήνας διασπάται σε δύο μέρη που δεν έχουν ίδιο μέγεθος συνήθως και εκπέμπονται και νετρόνια .Σχάση μπορεί να συμβεί και έπειτα από διέγερση του πυρήνα με ακτίνες γ ή με πρωτόνια ,όπως και αυθόρμητα καθώς αρκετοί πυρήνες είναι ασταθής .Το σημαντικό από την σχάση είναι ότι πέρνουμε περίπου 200 MeV ενέργεια που το μεγαλύτερο μέρος της είναι κινητική ενέργεια των αποσχισθέντων πυρήνων .Oι διάφορες ακτινοβολίες από τα ραδιονουκλίδια(ασταθής πυρήνες που διασπόνται αυθόρμητα  ) είναι ικανές να ιονίσουν την ύλη μέσα από την οποία περνούν . Όλες οι ιονίζουσες ακτινοβολίες είναι βλεβερές στο ζωντανό ιστό και , εάν η βλάβη είναι μικρή , ο ιστός μπορεί να αυτοθεραπευθεί χωρίς να παραμείνει μόνιμη ζημιά.
 Οι κίνδυνοι λόγω της ακτινοβολίας δεν λαμβάνονται υπόψη πολλές φορές γιατί υπάρχει πάντα μία καθυστέρηση , πιθανόν πολλών χρόνων ,μεταξύ της έκθεσης στην ακτινοβολία και της πιθανής συνέπειας που μπορεί να είναι καρκίνος , λευχαιμία και γενετικές αλλαγές που μπορούν να οδηγήσουν σε ανάπηρα παιδιά  .

Ο ΑΡΙΘΜΟΣ π

Σε κάθε κύκλο υπάρχει ένας αριθμός ανεξάρτητως των διαστάσεων του κύκλου ο οποίος ειναι πάντα σταθερός. Είναι ένας άρρητος και υπερβατικός αριθμός και  προκύπτει αν διαιρέσουμε την περίμετρο ενός κύκλου με την διάμετρό του . Πολλοί ασχολούνται με την εύρεση νέων ψηφίων αυτού του ατελείωτου αριθμού.Ο  περήφιμος Πλάτων (427-347 π.x.) ο οποίος θεωρούσε  τα μαθηματικά δώρο θεού διατύπωσε την φράση -ΑΕΙ Ο ΘΕΟΣ Ο ΜΕΓΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΕΙ ΤΟ ΚΥΚΛΟΥ ΜΗΚΟΣ ΙΝΑ ΟΡΙΣΗ ΔΙΑΜΕΤΡΩ ΠΑΡΗΓΑΓΕΝ ΑΡΙΘΜΟΝ ΑΠΕΡΑΝΤΟΝ ΚΑΙ ΟΝ ΦΕΥ ΟΥΔΕΠΟΤΕ ΟΛΟΝ ΘΝΗΤΟΙ ΘΑ ΕΥΡΩΣΙ- η οποία είναι και ένας μνημωνικός τρόπος για τον προσδιορισμό των 23 πρώτων ψηφίων του π. Ο αριθμός των γραμμάτων κάθε λέξης αποτελεί και ένα ψηφίο του π.

Δηλαδή  ΑΕΙ = 3

Ο =1 

ΘΕΟΣ = 4 

Ο = 1 

ΜΕΓΑΣ = 5

ΓΕΩΜΕΤΡΕΙ = 9

ΤΟ = 2

ΚΥΚΛΟΥ = 6 

ΜΗΚΟΣ = 5 

ΙΝΑ = 3 

ΟΡΙΣΗ = 5

ΔΙΑΜΕΤΡΩ =8 

ΠΑΡΗΓΑΓΕΝ=9

ΑΡΙΘΜΟΝ =7 

ΑΠΕΡΑΝΤΟΝ =9 

 ΚΑΙ = 3 

ΟΝ=2

ΦΕΥ=3

ΟΥΔΕΠΟΤΕ= 8

ΟΛΟΝ =4

ΘΝΗΤΟΙ =6 

ΘΑ =2 

ΕΥΡΩΣΙ =6

Δηλαδή από την φράση του πλάτων έχουμε τα 23 πρώτα ψηφία του αριθμού π=3,1415926535897932384626... .

ΤΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ

Η ατμόσφαιρα της γης ξεκινάει με το στρώμα της τροπόσφαιρας και φτάνει ως τα 12 με 16 χιλιόμετρα όπου βρίσκεται η τροπόπαυση .Ακολουθεί το στρώμα της στρατόσφαιρας που φτάνει ως τα 50 χιλιόμετρα περίπου όπου βρίσκεται η στρατόπαυση, το στρώμα της μεσόσφαιρας που φτάνει ως τα 80 χιλίομετρα στην μεσόπαυση ,η θερμόσφαιρα που φτάνει στα 4οο χιλιόμετρα όπου βρίσκεται η θερμόπαυση και τέλος είναι η εξώσφαιρα πάνω από τα 400-500 χιλιόμετρα .

Από τα 70 μέχρι τα 300 χιλιόμετρα περίπου γίνεται μερικός ιονισμός των ατμοσφαιρικών συστατικών από την ακτινοβολία του ήλιου και από σωματίδια που εκπέμπονται από τον ήλιο.Η περιοχή αυτή ονομάζεται ιονόσφαιρα . Μαγνητόσφαιρα ονομάζεται η περιοχή πέρα από τα 1000 χιλιόμετρα μέχρι μια απόσταση 10 γήινων ακτίνων(μαγνητόπαυση) από την φωτεινή πλευρά της γης .Σε αυτή την περιοχή η κίνηση των σωματιδίων καθορίζεται από το μαγνητικό πεδίο της γης.

Το διπλανό σχήμα μας δείχνει ότι περίπου στα 80-85 χιλιόμετρα η ατμόσφαιρα μας έχει την μικρότερη θερμοκρασία και ότι στη θερμόσφαιρα έχουμε τις υψηλότερες τιμές (1000-1300 βαθμούς kelvin ) .Ισόθερμες περιοχές στην ατμόσφαιρά μας μπορούμε να συναντήσουμε στα αρχικά χιλιόμετρα της στρατόσφαιρας και στην αρχή της θερμόσφαιρας , όπως και στην θερμόπαυση που από εκεί και πάνω δεν έχουμε κάποια αύξηση της θερμοκρασίας .

ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑΣ

Οι πολλές επιστημονικές θεωρίες οδήγησαν στον 19 αιώνα σε μια αντίληψη ότι το σύμπαν είναι προβλέψιμο αν γνωρίζουμε μια κατάστασή του σε μία χρονική στιγμή .Η αντίληψη αυτή ενόχλησε πολλούς διότι περιόριζε την θεϊκή παρέμβαση στον κόσμο μας .

Για να υπολογίσουμε την θέση ενός σωματιδίου στο μέλλον πρέπει να γνωρίζουμε την θέση και την ταχύτητα του στο παρόν .Για να γίνει αυτό θα πρέπει να ρίξουμε φως στο σωματίδιο ,το οποίο θα ανακλαστεί πάνω του και θα μας φανερώσει την θέση όπου βρίσκεται. Αυτή η ακρίβεια όμως δεν θα είναι μεγαλύτερη από το μήκος κύματος της ακτινοβολίας που ρίχνουμε .Για μεγάλη ακρίβεια απαιτείται μικρό μήκος κύματος ,αλλά η ελάχιστη ποσότητα φωτός που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είναι ένα φωτόνιο .Αυτό το φωτόνιο όμως θα προκαλέσει μεταβολή στην θέση και στην ταχύτητα του σωματιδίου .Όταν έχουμε μεγάλη απαίτηση στην ακρίβεια της θέσης θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε φως μικρού μήκους κύματος ,άρα μεγάλης ενέργειας με αποτέλεσμα την μεγάλη αλλαγή στην ταχύτητα του σωματιδίου .

Το 1926 ο Γερμανός Werner Heisenberg ήρθε να βάλει τέλος στο δόγμα του ντετερμινισμού με την αρχή της απροσδιοριστίας . Η αρχή αυτή μας λέει ότι όσο πιο μεγάλη είναι η ακρίβεια στον προσδιορισμό της θέσης ενός σωματιδίου τόσο πιο μικρή θα είναι η ακρίβεια στον προσδιορισμό της ταχύτητάς του και αντίστροφα.
Αν συμβολίσουμε με Δχ την απροσδιοριστία στη θέση και με Δp την απροσδιοριστία στην ορμή έχουμε από την σχέση που έδειξε ο Heisenberg ότι το γινόμενο Δχ Δp δεν μπορεί ποτέ να γίνει μικρότερο από το λόγο h/4π όπου h η σταθερά του planck και π=3,14... .

ΝΕΡΟ ΣΤΟΝ ΠΛΑΝΗΤΗ ΑΡΗ

Εικόνες που φανερώνουν την ύπαρξη νερού στον άρη!!.

ΔΙΔΥΜΗ ΓΕΝΕΣΗ-ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΕ ΥΛΗ

Η ενέργεια ενος φωτονίου μπορεί να δωθεί ολοκλήρη ή ένα μέρος της σε ένα ηλεκτρόνιο ,όπως και να μετατραπεί σε ένα ηλεκτρόνιο και ένα ποζιτρόνιο (κοντά σε ατομικό πυρήνα) . Το ποζιτρόνιο είναι σωματίδιο με ίδιο και αντίθετο φορτίο από ότι το ηλεκτρόνιο . Στις δύο αυτές μετατροπές βλέπουμε ότι ισχύουν οι αρχές διατήρησης της ενέργειας , της ορμής και του φορτίου .Το φορτίο του φωτονίου είναι μηδέν ,όπως και του ζεύγους ποζιτρονίου-ηλεκτρονίου .Η ολική ενέργεια (μαζί με την μάζα ηρεμίας ποζιτρονίου και ηλεκτρονίου ) είναι ίση με αυτή του φωτονίου ( ενέργεια φωτονίου E=h v ,όπου h η σταθερά του planck και v η συχνότητα του φωτονίου ).Η ενέργεια που μεταφέρει ο πυρήνας από το φωτόνιο είναι μικρή εξαιτίας της μεγάλης μάζας του .Η αρχή διατήρησης της ορμής ισχύει χάρη στον πυρήνα ( καθώς στον ελεύθερο χώρο δεν είναι δυνατόν να έχουμε διατήρηση της ορμής ) ο οποίος μεταφέρει αρκετή ορμή από το φωτόνιο .
Η ελάχιστη ενέργεια που απαιτείται για την δίδυμη γένεση εφόσον το ηλεκτρόνιο και το ποζιτρόνιο δεν έχουν κινητική ενέργεια είναι 1,02 MeV ( και αυτό γιατί η μάζα ηρεμίας του ποζιτρονίου και του ηλεκτρονίου είναι 0,51 MeV) .Αν το φωτόνιο έχει μεγαλύτερη ενέργεια από 1,02 MeV τότε το υπόλοιπο θα γίνει κινητική ενέργεια ποζιτρονίου και ηλεκτρονίου .
Όταν ένα ποζιτρόνιο βρεθεί κοντά σε ένα ηλεκτρόνιο αλληλεπιδρούν λόγω αντίθετων φορτίων και εξαϋλώνονται και η μάζα τους γίνεται δύο φωτόνια ( ακτίνες γ) ,δηλαδή έχουμε την αντίθετη διαδικασία από ότι πριν .Πάλη έχουμε ισχύ των αρχών διατήρησης .