Mathematica-Υπολογισμός αορίστων ολοκληρωμάτων

Για τα απλά ολοκληρώματα , συναρτήσεων μίας μεταβλητής χρησιμοποιούμε τον παρακάτω τύπο-εντολή Integrate[f(x),x]

Για παράδειγμα για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος της συνάρτησης f(x)=1/(1+x^2) γράφουμε την εντολή Integrate[1/(1+x^2) ,x] , ως αποτέλεσμα παίρνουμε

Integrate[1/(1+x^2) ,x]=ArcTan[x] συν μία σταθερά

Mathematica-Υπολογισμός παραγώγου

Στον ακόλουθο σύνδεσμο http://www.wolframalpha.com/ μπορούμε να εκτελέσουμε διάφορους μαθηματικούς υπολογισμούς ,όπως θα δούμε και σε άλλες αναρτήσεις .

Για τον υπολογισμό της παραγώγου μίας συνάρτησης ο γενικός τύπος είναι ο εξής : D[f[x],{x,n}], όπου f[x] η συνάρτηση που παραγωγίζουμε , το {x,n} δηλώνει ότι παραγωγίζουμε ως προς x και ότι ζητούμε την παράγωγο n τάξης .

Παράδειγμα : για τον υπολογισμό της πρώτης παραγώγου της συνάρτησης

x² ( η οποία γράφεται x^2 , αυτός είναι ο τρόπος γράφης μίας δύναμης )

γράφουμε D[x^2,{x,1}] .

ΟΠΤΙΚΟ ΠΡΙΣΜΑ

Πρίσμα ονομάζεται το σύστημα που αποτελείται από δύο επίπεδα  δίοπτρα τεμνόμενα υπό γωνία Φ( διαθλαστική γωνία ), τα οποία χωρίζουν ένα οπτικό μέσω από ένα άλλο ( δίοπτρο : η επιφάνεια που χωρίζει δύο διαφανή και ομογενή μέσα , με διαφορετικό δείκτη διάθλασης ) . 

Αν σε ένα πρίσμα πέσει μια ακτίνα φωτός  , θα διαθλαστεί δύο φορές και θα εξέλθει από αυτό με γωνία Ε( γωνία εκτροπής) . H γωνία εκτροπής εξαρτάται από το δείκτη διάθλασης και αυτός από το μήκος κύματος της ακτινοβολίας . 

Οπότε αν προσπέσει στο πρίσμα ορατό φως που περιέχει πολλά μήκη κύματος (από 400 έως 700 nm ) με μία ορισμένη γωνία , μετά από δύο διαθλάσης το λευκό φως θα διαχωρισθεί καθώς κάθε μήκος κύματος διαθλάται με άλλη γωνία .

Όσο μεγαλύτερο είναι το μήκος κύματος τόσο μικρότερη θα είναι η γωνία εκτροπής .Έτσι αν συλλέξουμε τα μήκη κύματος μετά την δεύτερη διάθλαση του ορατού φωτός σε ένα πέτασμα , θα παρατηρήσουμε ότι πάνω έχουμε το ερυθρό χρώμα και κάτω το ιώδες ( όπως φαίνεται και στο σχήμα ) .

ΤΣΟΥΝΑΜΙ

Είναι μεγάλα θαλάσσια κύματα της ανοιχτής θάλασσας και οφείλονται σε κάποιες δραστηριότητες του πυθμένα .Τα κύματα αυτά επηρεάζουν την υδάτινη μάζα στο σύνολο της .

 Για την πιθανή παρατήρηση των κυμάτων αυτών θα πρέπει να έχουμε υποθαλάσσιους σεισμούς μεγαλύτερους των 7.5 R ,υποθαλάσσιες κατολισθήσεις , εκρήξεις ηφαιστείων  και όλα αυτά να προκαλούν κατακόρυφη μετατόπιση του πυθμένα .

  

                         

                                     

                                      

                                                                   

Τα κύματα αυτά είναι καταστροφικά όταν διέρχονται από την ανοιχτή θάλασσα στις

 παράκτιες περιοχές καθώς το ύψος τους αυξάνεται ραγδαία .

ΣΥΣΤΑΣΗ ΕΝΟΣ ΠΥΡΗΝΑ ΑΤΟΜΟΥ

Από τις αρχές  του 20 αιώνα με  διάφορα πειράματα οι επιστήμονες( Ράδερφορντ,Μπορ, Τόμσον) κατέληξαν στο ότι το άτομο έχει ένα συμπαγή πυρήνα θετικά φορτισμένο και γύρω του κινούνται τα ηλεκτρόνια , τα οποία έχουν αρνητικό φορτίο .

Λίγο αργότερα νέα πειράματα έδειξαν ότι ο πυρήνας αποτελείται από δύο σωματίδια , τα νετρόνια και τα πρωτόνια , τα οποία έχουν ίδια μάζα .Το φορτίο του πυρήνα είναι θετικό και ίσο με αυτό του πρωτονίου καθώς τα νετρόνια είναι ουδέτερα .Τα πρωτόνια έχουν ίδιο φορτίο με αυτό του ηλεκτρονίου αλλα με αντίθετο πρόσημο .

Η επιστήμη δεν έμεινε εδώ , αλλά εισχώρησε βαθύτερα στον πυρήνα και επιβεβαίωσε ότι τα πρωτόνια και τα νετρόνια έχουν εσωτερική δομή .Τα πρωτόνια αποτελούνται από δύο άνω κουάρκ και ένα κάτω κουάρκ . Τα νετρόνια από ένα πάνω κουάρκ και δύο κάτω .Το φορτίο των άνω κουάρκ είναι +2/3 ( σε μονάδες φορτίου ηλεκρτονίου ) και των κάτω - 1/3.

Όπως μπορούμε να καταλάβουμε όλη η ύλη του σύμπαντος αποτελείται από άνω κουάρκ , κάτω κουάρκ και ηλεκτρόνια ( όπως και από ένα ακόμα σωματίδιο το νετρίνο ).

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΤΗΡΗΣΕΩΣ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ

1) Διατήρηση της ορμής
Από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα έχουμε ότι d(mu)/dt =F .Αν το υλικό σημείο είναι απομονωμένο ,δηλαδή δεν δέχεται κάποια δύναμη τότε d(mu)/dt =0 που σημαίνει ότι η παραγωγίσιμη ποσότητα είναι κάποια σταθερά ,δηλαδή p=mu=σταθερό ( η ορμή p διατηρείται).
2)Διατήρηση της στροφορμής-γωνιακής ορμής
Η στροφοορμή ορίζεται ως το εξωτερικό γινόμενο L=rxmu (όπου r το διάνυσμα θέσης του υλικού σημείου μάζας m που κινείται με ταχύτητα u ). Έστω ότι το σώμα κινείται με την δύναμη F σε αδρανειακό σύστημα .Αν παραγωγίσουμε την στροφορμή ως προς το χρόνο θα πάρουμε dL/dt=dr/dt x mu +rd(mu)/dt =r x F .Όταν το υλικό σημείο είναι απομονωμένο ,δηλαδή F =0 ή το διάνυσμα θέσης του υλικού σημείου είναι παράλληλο με την δύναμη F τότε dL/dt =0=> L=σταθερό ( η στροφορμή διατηρείται )
3)Διατήρηση της ενέργειας
Έστω ένα υλικό σημείο που κινείται πάνω σε μια καμπύλη c ,με μία δύναμη που προέρχεται από δυναμικό (η στροφή της δύναμης είναι μηδέν ) ανεξάρτητο του χρόνου . Το έργο που παράγεται κατά την μετακίνηση του υλικού σημείου μεταξύ δύο θέσεων Α και Β πάνω στην καμπύλη είναι ίσο με την μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σημείου , w=T-T' (1)( T' η κινητική ενέργεια στο σημείο Α και T η κινητική ενέργεια στη θέση Β) .Το έργο που παράγεται επίσης ισούται w=V'-V (2)( V το δυναμικό στη θέση Α και V' το δυναμικό στη θέση Β ).Από (1) και (2) βλέπουμε ότι T+V=T'+V' .Το μέγεθος T+V (που ονομάζεται μηχανική ενέργεια ) διατηρείται κατά την κίνηση υλικού σημείου ( όταν η στροφή της δύναμης είναι μηδέν).

ΥΠΟΘΕΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ-ΔΥΝΑΜΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

Έστω δυο συστήματα συντεταγμένων s-oxyz και s'-o'x'y'z' με το s' να επιταχύνεται με σταθερη επιτάχυνση ως προς τον άξονα x του αδρανειακού συστήματος s.Το  s' βρίσκεται κάθε χρονική στιγμή σε απόσταση 1/(2γt² ) (γ , η επιτάχυνση του s' ) από το s . Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα μας δίνει για το αδρανειακό σύστημα στον άξονα x md²x /dt² =F' , στον άξονα y md²y/dt² =F'' και στον άξονα z md²z/dt² =F''' .Ο μετασχηματισμός μεταξύ των δύο συστημάτων είναι 

x=x' +1/2γt², y=y' και z=z'.Αν αντικαταστήσουμε τον μετασχηματισμό στο νόμο του Νεύτωνα θα έχουμε 

 md²x' /dt²= F''''-mγ , md²y'/dt² =F''''' και md²z'/dt² =F'''''' .Βλέπουμε ότι για έναν παρατηρητή που βρίσκεται στο μη αδρανειακό σύστημα  s' στην έκφραση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα υπεισέρχεται μια δύναμη ίδιας διεύθυνσης με την επιτάχυνση αλλά αντίθετης φοράς .Η δύναμη F=-mγ  ονομάζεται δύναμη αδράνειας και δεν υπάρχει για τον παρατηρητή του αδρανειακού συστήματος .